自然科學(xué)論文選讀
第二個(gè)例子是微積分，或者說是由它生成的數(shù)學(xué)分析。微積分是近代數(shù)學(xué)的最早的成果，對它的重要性，作任何估價(jià)都很難認(rèn)為是過高的。盡管我認(rèn)為它的確比現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)端中的任何其它事物具有更多的歧義性，但是數(shù)學(xué)分析的系統(tǒng)，它的邏輯展開仍然是精確思維方面最大的技術(shù)上的進(jìn)步。
微積分的起源顯然是經(jīng)驗(yàn)的，開普勒嘗試著做的最早的積分，被稱為“dolicho-metry”---小桶的量度---即量度由曲面包圍起來的物體的容積。這是非公理化、經(jīng)驗(yàn)的幾何學(xué)，而不是歐幾里得以后的那種幾何學(xué)，開普勒是完全知道這些的。牛頓和 萊布尼茨的那些主要成果和主要發(fā)現(xiàn)確實(shí)起源于物理學(xué)。牛頓發(fā)明的“流數(shù)”運(yùn)算，本質(zhì)是為了力學(xué)。事實(shí)上，這兩門學(xué)科，微積分和力學(xué)，是由它們或多或少地結(jié)合在一起而得到發(fā)展的。微積分的最初的一些陳述，數(shù)學(xué)上甚至可以是不嚴(yán)格的。一個(gè)不精確的半物理的陳述，是牛頓以后一百五十多年來僅有的一種可供使用的陳述！沒有數(shù)學(xué)家想排斥它。那個(gè)時(shí)期確實(shí)也產(chǎn)生了第一流的數(shù)學(xué)。即使在本質(zhì)上是由cauchy重建的嚴(yán)格性盛行之后，一種特殊的半物理方法在黎曼那里仍然得到了復(fù)萌。黎曼的科學(xué)的個(gè)性本身就是一個(gè)數(shù)學(xué)的兩重性的光輝榜樣。自weierstrass以來，分析數(shù)學(xué)似乎變得完全抽象、嚴(yán)格和非經(jīng)驗(yàn)了，其實(shí)這也不少絕對真實(shí)的。在最近兩代人中發(fā)生的有關(guān)數(shù)學(xué)和邏輯的“基礎(chǔ)”的爭論，驅(qū)散了許多關(guān)于這方面的錯(cuò)誤的幻想。
這為我們帶來了第三個(gè)例子，這個(gè)例子更多地是論述數(shù)學(xué)與哲學(xué)或認(rèn)識(shí)的關(guān)系，而不是數(shù)學(xué)和自然科學(xué)的關(guān)系，它用一種引人注目的方式說明“絕對的”數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的概念并不是不可改變的。嚴(yán)格性概念的可變性表明：在數(shù)學(xué)抽象之外的某些事物，作為補(bǔ)償不足必須進(jìn)入數(shù)學(xué)。在分析關(guān)于“基礎(chǔ)”的爭論時(shí)有兩件事是清楚的：第一，已經(jīng)引入某些非數(shù)學(xué)事物，這是本質(zhì)的，不管它與經(jīng)驗(yàn)科學(xué)或者哲學(xué)或者兩者任何聯(lián)系，它的非經(jīng)驗(yàn)的特點(diǎn)，僅當(dāng)人們假設(shè)哲學(xué)能夠獨(dú)立于經(jīng)驗(yàn)而存在時(shí)才能使人注意。第二，不管關(guān)于“基礎(chǔ)”的爭論可能作出的最好解釋，數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)來源是受到我們較早提到的例子（幾何學(xué)和微積分）的強(qiáng)有力地支持的。
我希望上述的三個(gè)例子已足以說明許多最好的靈感來自于經(jīng)驗(yàn)。很難相信，存在著與人類所有經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)的絕對的、不可動(dòng)搖的數(shù)學(xué)嚴(yán)格性的概念。
對任何數(shù)學(xué)家來說，很難相信數(shù)學(xué)是一門純粹經(jīng)驗(yàn)科學(xué)，或者說，所有數(shù)學(xué)概念都來源于經(jīng)驗(yàn)主體。現(xiàn)代數(shù)學(xué)中有各式各樣重要部分，它的經(jīng)驗(yàn)來源是不可追溯的。 或者說，如果可以追溯的話，也是如此間接，顯然地自它割斷它的經(jīng)驗(yàn)根源之后，就面目全非了。在有些數(shù)學(xué)領(lǐng)域中，數(shù)學(xué)家的主觀上的成功標(biāo)準(zhǔn)和作用價(jià)值，是自身相容、符合美學(xué)和脫離（或幾乎脫離）經(jīng)驗(yàn)。在集合論中，這更為明顯。對于實(shí)變函數(shù)論和實(shí)點(diǎn)集論也是如此。然而可能在十年之后，有的可能在一個(gè)世紀(jì)之后，卻變得對物理學(xué)十分有用。
數(shù)學(xué)概念來源于經(jīng)驗(yàn)，盡管有時(shí)系譜是長遠(yuǎn)的曲折的，這種說法是一個(gè)適當(dāng)?shù)膶φ胬淼谋平Ｕ胬硖珡?fù)雜了，以致能容納任何事物，而不是逼近。但是一旦它們被設(shè)想出來后，這個(gè)主題開始按它自己特有的活力生長，并且在幾乎完全按美學(xué)動(dòng)機(jī)給出的創(chuàng)造物方面；它將比任何事物，特別是經(jīng)驗(yàn)科學(xué)來得好。但是，我相信還有問題需要進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)，因?yàn)橐婚T設(shè)想學(xué)科遠(yuǎn)離它的經(jīng)驗(yàn)來源，或者說，如果僅是間接地來自“現(xiàn)實(shí)性”，是由現(xiàn)實(shí)激勵(lì)生成的第二或第三代學(xué)科的話，這是一個(gè)最大的危險(xiǎn)。它將變得愈來愈美學(xué)化，愈來愈藝術(shù)化。如果這個(gè)領(lǐng)域是由相關(guān)聯(lián)的仍然與經(jīng)驗(yàn)緊密相聯(lián)的學(xué)科圍繞著的話，或者說，如果這些學(xué)科處于受到特殊的、訓(xùn)練有素的人的影響之下的話，這不是壞事。但也有一種重大的危險(xiǎn)，學(xué)科只沿著遠(yuǎn)離根源的流一直持續(xù)展開下去，并且分割成多種沒有意義的分支，學(xué)科將變成一種繁煩的資料堆積。換言之，遠(yuǎn)離經(jīng)驗(yàn)根源，一門數(shù)學(xué)學(xué)科將有退化的危險(xiǎn)。