自然科學(xué)論文選讀
霍金斯和我考慮過如下的有關(guān)問題，這是由“20個問題”變化來的一個對策：一個人想好一個1和100（這個數(shù)正好是小于22的） 之間的數(shù)，另一個人可以問最多20個問題，對每個問題第一個人只回答是或不是。很明顯可以這樣來猜到那個想好的數(shù)，即先問：這個數(shù)是在100的前一半里嗎？然后下個問題再用“一半”來縮小數(shù)的范圍，這樣問下去，最后在10^2（100）次之內(nèi)就能猜到這個數(shù)。現(xiàn)在假定答者可以說一到二次謊， 這樣要問幾次才能得到正確答案？顯然需要問n次以上才能在2n個數(shù)里猜中一個，因為不知道什么時候說謊。這個問題沒有得到一般的解決。
數(shù)學(xué)觀念和靈感有二個主要的來源——一方面，由外部現(xiàn)實即物質(zhì)世界的影響而引起；另一方面，由人的生理或許基本上是腦的生理發(fā)展過程而引起。從一個不太明顯和比較特殊的意義上說，這一點在今天和不久以后的計算機運用上已經(jīng)和將會繼續(xù)得到反映，有一個同態(tài)象。
即使最唯心的認(rèn)為數(shù)學(xué)純粹是人心的創(chuàng)造的觀點也須得符合這樣的事實：即幾何定義和公理——實際上大多數(shù)數(shù)學(xué)概念都是如此——的選擇是由外界刺激和對在“外部世界”里進行的觀察實驗的內(nèi)省，通過我們的意識獲得的印象的結(jié)果。例如，概率論就是由有關(guān)機會的游戲中的一些問題發(fā)展而來的。今天，有許多計算機是專為解決特定數(shù)學(xué)問題而設(shè)計的，靠它們就有希望大為廣泛地進行思想實驗，將經(jīng)驗理想化，并概括出更為抽象的思維模式。
幾年前在普林斯頓，慶祝馮•諾伊曼計算機建成25周年大會上，我在講話時忽然心血來潮，默默地估算起每年數(shù)學(xué)雜志上有多少定理發(fā)表（指那些標(biāo)明為“定理”的、發(fā)表在公認(rèn)的數(shù)學(xué)雜志上的命題）。我很快地心算著，連自己也奇怪竟能在談著完全不相干的事的同時，算出每年約有十萬個定理。我馬上轉(zhuǎn)過話題，把這說了出來，聽眾不禁倒吸了一口冷氣。讀者可能會感興趣的是，聽眾中有兩個青年數(shù)學(xué)家第二天跑來跟我說，由于被這極大的數(shù)字所震動，他們在院圖書館作了一次系統(tǒng)詳細(xì)的調(diào)查，將雜志種數(shù)乘以一年的期數(shù)，再乘上每期的頁數(shù)和平均每頁上的定理數(shù)，估計下來一年有近二十萬條定理。這樣一個巨大的數(shù)字無疑值得好好思考。人們?nèi)绻姓J(rèn)數(shù)學(xué)的意義應(yīng)該比游戲和智力測驗大些，那么這就是一件令人擔(dān)憂的事情了。危險顯然在于數(shù)學(xué)本身將遭到割裂，分成互不相關(guān)的不同科學(xué)或許多聯(lián)系松散的獨立學(xué)科。我本人希望不要發(fā)生這種情況，因為如果定理多到讓人無法概觀，那么誰能來判斷什么是“重要”的呢？這也是個保存資料、存儲和檢索科學(xué)成果的問題。而這現(xiàn)在成了個首要問題，沒有人機對話，就無法找出最需要的東西。 要始終跟得上當(dāng)代的成果，即使僅僅是那些突出的引人注意的成果，實際上也是不可能的。那種認(rèn)為數(shù)學(xué)將作為一門統(tǒng)一的科學(xué)存在下去的觀點與此怎么一致得起來呢？正像一個人不可能見過所有的美女或所有優(yōu)美的藝術(shù)作品而最后只娶了一個美人一樣，可以說在數(shù)學(xué)上一個人是和他自己的小領(lǐng)域結(jié)婚的。正因為這樣，數(shù)學(xué)研究的價值評判越來越困難，我們大多數(shù)人基本上成了技術(shù)師。年輕科學(xué)家所研究的數(shù)學(xué)客體的種類正指數(shù)倍地增長，也許，人們不應(yīng)該把這種現(xiàn)象稱之為對思維的褻瀆，不過它到有點像大自然造就了無數(shù)種不同的昆蟲那樣，使得世界豐富多彩。但是，多少總讓人感到，這同我們對于科學(xué)的本質(zhì)觀念，即要去理解、縮寫、概括、尤其是發(fā)展關(guān)于理智和自然現(xiàn)象的記號系統(tǒng)這一點有點背道而馳。