指印•教案
第3節(jié)，繼續(xù)舉語言上的例子，指出很多原始語言表示數(shù)字的字都是具體的，沒有抽象的"數(shù)"，就連英語"集合"（collection）、"集"（aggregate）兩個表示數(shù)的抽象詞都是外來語。由此證明"具體的東西總在抽象的東西之先"，由具體的、駁雜的對數(shù)的表示法，到"統(tǒng)一的抽象的數(shù)概念"，是"數(shù)學(xué)發(fā)展的前提"。作者援引羅素的精彩論述，說明了人類抽象能力的發(fā)展，經(jīng)過了漫長的歷史，讀之令人感喟。
第4節(jié)，進(jìn)而談集合的對應(yīng)和匹配原理。在現(xiàn)實生活場景中，"會堂的座位"與"出席的人"，可以通過比對看出多少來。但是這種比對的方法太笨了，既不能事先預(yù)知，也不能脫離現(xiàn)場來完成，于是產(chǎn)生了"各種模范集合"。模范集合起到了計量標(biāo)準(zhǔn)的作用，如同貨幣可以充當(dāng)一般等價物一樣。這樣，人們要表示數(shù)字"二"時，就想到了"鳥的翼"；要表示數(shù)字"三"時，就想到了"苜蓿葉"；要表示數(shù)字"四"時，就想到了"獸足"；要表示數(shù)字"五"時，就想到了"自己的手指"。后來，這些模范集合的具體所指逐漸被淡化，人們只是習(xí)得了記住了它們的語音形式，拋棄了它們生動的模范的內(nèi)容，于是較為抽象的數(shù)字產(chǎn)生了。
第5節(jié)，承接前面的話題，提出了基數(shù)與序數(shù)的概念。脫胎于模范集合、從"對應(yīng)原則"產(chǎn)生出來的數(shù)，再抽象也是基數(shù)。單憑基數(shù)本身，是不能創(chuàng)造出"計數(shù)術(shù)"來的。一定要在對應(yīng)中增加"序列"的概念，即完成由基數(shù)到序數(shù)的轉(zhuǎn)化，才能擺脫古老的煩瑣的"一一匹配"辦法，"創(chuàng)造出一種計算方法"，實現(xiàn)"識數(shù)"的質(zhì)的飛躍。
第6節(jié)，繼續(xù)探討"基數(shù)與序數(shù)的微妙區(qū)別"，并從屈指計數(shù)方便靈活上，推斷"在用手指的時候，人類借助于這個工具，就不自覺地從基數(shù)轉(zhuǎn)進(jìn)到序數(shù)"。作者的這種推斷，在許多語言中找到了"遺跡"，因為在許多語言中，"'五'這個數(shù)，就用'手'表示；而'十'則用'雙手'"。作者至此點明本章（本文是其前半部分）主題，指出"人類在計算方面之所以成功，應(yīng)當(dāng)歸功于十指分明"。
閱讀本文，不但能增進(jìn)我們對數(shù)字、計數(shù)起源的認(rèn)識，也會在作者親切、信實的敘述中，領(lǐng)略到其語言的魅力，為作者探究數(shù)學(xué)文化的執(zhí)著精神所感動。
2.研讀課文，討論問題。
（1）作者在論述中列舉了一些原始語言現(xiàn)象，是為了說明什么問題？
【明確】語言與數(shù)學(xué)似乎風(fēng)馬牛不相及，其實不然。它們是兩種語言體系，而且在早期還具有同源關(guān)系。認(rèn)識到這一點，才能深切體會到作者以大量原始語言現(xiàn)象說明數(shù)學(xué)起源問題的良苦用心。作者在論述中列舉了一些原始語言現(xiàn)象，是為了說明原始人類的數(shù)覺或表現(xiàn)數(shù)的方式，來闡述人類數(shù)學(xué)能力的發(fā)展歷程。如對南非的布須曼人只有一、二和"多"三個數(shù)字，間接說明了原始人類對數(shù)的感覺極為有限；對不列顛哥倫比亞的辛姆珊族語言的分析，論證了原始時代的數(shù)字經(jīng)過了由多元具體系統(tǒng)到一元抽象系統(tǒng)的轉(zhuǎn)變過程。
（2）作者為什么說"數(shù)覺和計數(shù)不能混為一談"？它們有怎樣的區(qū)別？
【明確】區(qū)分?jǐn)?shù)覺和計數(shù)是作者在文中反復(fù)申明的，它是人與動物的數(shù)學(xué)能力的本質(zhì)區(qū)別。要通讀全文，才能充分理解作者這句話的深刻含義。這是作者自始至終強(qiáng)調(diào)的一個觀點，也是本篇立論的關(guān)鍵所在。數(shù)覺是人與動物都有的一種對于數(shù)的直覺，而且就這種能力來說，人也不比某些鳥類或昆蟲高明多少。但是計數(shù)是人類所獨有的，它借助于人類的"十指分明"得以起飛，演變?yōu)橛嫈?shù)，成為全部數(shù)學(xué)發(fā)展的基礎(chǔ)。